他說：“我們主要相信所有猜測都是真實的，但是真正看到它真是令人興奮。” 大篷車倫敦帝國學院的數學家。 “在一種情況下，您真的認為它會消失。”
這僅僅是狩獵的開始，它將持續多年 – 數學家最終希望為每個阿貝爾表面展示模塊化。但是，結果已經可以幫助回答許多開放問題，以及橢圓曲線的發音證明，已經打開了各種新的研究指令。
通過外觀玻璃
橢圓曲線是一種高度基本的方程式，僅使用兩個變量 –x 和 y。如果您正在編寫他的解決方案，您將看到看起來很簡單的曲線。但是這些解決方案以豐富而復雜的方式相互聯繫，並出現在數字理論的許多最重要問題中。 Birch和Swinnerton-Dyer的猜測，例如，數學最嚴重的開放問題之一，對於任何證明這是橢圓曲線的解決方案本質的人來說，都有100萬美元的獎勵。
橢圓曲線可能很難立即研究。因此，有時數學家更喜歡從不同的角度接近他們。
有鉸接形式。鉸接形式是一種極為對稱的功能，它發生在一個看似獨立的數學研究領域，稱為分析。由於它們具有許多不錯的對稱性，因此表達的形式可以更容易。
一開始，這些對像看起來好像不應該與之相關。但是泰勒和威爾斯的證據表明，每條橢圓形曲線都對應於特定的鉸接形式。它們具有一些共同的屬性 – 例如，一組描述橢圓曲線中解決方案的數字也將以相對錶達的形式出現。因此，數學家可以使用鉸接式形式以橢圓曲線獲取新想法。
但是數學家認為，泰勒和威爾斯的模塊化定理只是全球事件的一個例子。橢圓曲線以外的對像有更多類別。所有這些對像也應在更廣泛的對稱功能（例如鉸接形式）的世界中具有合作夥伴。實際上，這是Langlands計劃。
橢圓曲線只有兩個變量 –x 和 y– 因此可以寫在平淡的紙上。但是，如果添加另一個變量， z您採用彎曲的表面，該表面活在三個維空間中。這個最複雜的對象稱為Abelian，並且與橢圓形曲線一樣，其解決方案具有數學家想要理解的精美結構。
Abelian的表面應該對應於更複雜的鉸接形式，這似乎很自然。但是它們的額外變量使它們更難構建，並且很難找到解決方案。證明他們也滿足模塊化定理，似乎完全遙不可及。 Gee說：“這是一個不思考的眾所周知的問題，因為人們已經考慮並卡住了。”
但是拳擊手，卡萊加里，吉和皮洛尼想嘗試。
尋找橋樑
Calegari說，所有四位數學家都參加了蘭格蘭茲計劃的研究，並希望證明“在現實生活中出現的，而不是奇怪的事情”的猜測之一。
不僅阿貝爾表面出現在現實生活中 – 數學家的現實生活，也就是說 – – 通過證明對它們的模塊化定理將打開新的數學大門。卡萊加里說：“如果您有這樣的聲明，您沒有機會做不同的事情，您可以做很多事情。”
數學家們於2016年開始共同努力，希望採取與泰勒和威爾斯在橢圓曲線證明的相同的步驟。但是所有這些步驟對於阿貝爾表面來說更為複雜。
因此，他們專注於特定的阿貝爾表麵類型，稱為普通的阿貝爾表面，這更容易工作。對於任何這樣的表面，都有一組描述其解決方案結構的數字。如果他們可以證明相同的數字也可能是由鉸接形式造成的，那麼它們就會做到。這些數字將用作獨特的標籤，使它們可以將每個阿貝爾表面與鉸接形式相結合。
