150 多年來，幾何的指導思想塑造了數學家對曲面的思考方式。該原理源自法國數學家 Pierre Ossian Bonnet，指出如果您知道固體表面每個點的兩個關鍵屬性，即其公製曲率和平均曲率，那麼您就可以確定其確切的形狀。慕尼黑工業大學（TUM）、柏林工業大學和北卡羅來納州立大學數學家的一項新研究結果表明，這一假設並不總是正確的。
為了挑戰這個長期存在的想法，研究人員建造了兩個緊湊的、獨立的甜甜圈形狀的表面，稱為托里。這兩個曲面具有相同的公製曲率和平均曲率值，但它們的整體結構並不相同。這種類型的例子已經被搜尋了幾十年，但直到現在才被發現。
度量描述沿表面的距離，即測量兩點之間的距離。平均曲率捕獲表面在空間中的彎曲方式，指示它是向內還是向外彎曲以及彎曲程度。
Bonnet 表面幾何規則的限制
數學家已經知道邦尼特規則並不適用於所有情況。已知的例外情況涉及無限延伸的非緻密表面，例如平面，或在其終止處具有邊緣。相比之下，諸如球體之類的固體表面被認為遵循該規則，公製曲率和平均曲率完全決定了它們的形狀。
對於環面形狀的表面，早期的工作表明，一組公製曲率和平均曲率值對應於兩種不同的形狀。然而，沒有人能夠提供一個明確而具體的例子來證明這種可能性。
遲來的反例終於找到了
新作品填補了這一空白。透過建構一對在局部測量中匹配但在全球範圍內不同的環面，團隊提供了這種現象的第一個明確的例子。
慕尼黑工業大學計算、資訊與技術學院應用與計算拓撲學教授 Tim Hoffmann 表示：「經過多年的研究，我們首次成功找到了一個具體案例，表明即使在封閉的環形表面上，局部測量數據也不一定能確定單一的全局形狀。」 “這使我們能夠解決表面微分幾何中數十年之久的問題。”
這項發現解決了幾何學中一個長期存在的問題，並凸顯了更深入的見解。即使有完整的局部訊息，表面的完整形狀也不能總是唯一確定。
