OpenAI模型解決了困擾人類80年的著名數學問題

OpenAI 方案依賴於選擇 c² = 65，可以透過 1² + 8² = 65 或 4² + 7² = 65 來滿足。這意味著，如果網格間距為 1/√65，則每個點將與其他 16 個點相距 1 個單位：(1,8)、(4,7)、(7,4)、(8,1)、(-1,8)、(-4,7) 等。較大的 c² 值（如果仔細選擇）允許更多的整數對角線，從而允許更多的單位距離對。

然而，如果 c² 與網格中的點數相比非常大，則許多相距一個單位的潛在相鄰點將位於網格之外。

簡而言之，我們要選擇一個足夠大但又不太大的 c²。利用包括雅可比平方定理在內的數論見解，Erdös 能夠證明，最佳尺寸的圓可以使單位距離對的數量增長得快於點的數量，但也只是勉強增長。

問題變成了「你能做得更好嗎？」為了找到上限，艾爾多斯使用了來自完全不同的數學領域（稱為圖論）的論點來表明只能獲得這麼多的單位空間。但他的上限成長速度遠遠快於他所能建立的最佳下限。

Erdos 的猜測是，實際的最優值比上限更接近下限。他預測但無法證明，每單位距離的最大對數的成長速度僅僅快於點數的成長速度。

更準確地說，Erdös 預測單位空間的數量為 n^(1+o(1))。換句話說，對於足夠大的 n，對於任何 𝜖 > 0，單位空間的最大數量將小於 n^(1+𝜖)。它最終的成長速度可能比建構下界稍快一些 — 對於某個常數 C，下界為 n^(1 + C/(log log n)) — 但在相同的總體範圍內。