數學家證明，不存在完全公平的選舉制度。

兩位研究人員透過正式的數學證明表明，在多黨競爭的情況下，任何選舉制度都無法同時滿足公平性的三個基本要求。這三項原則中總有一項必須被犧牲。這並非出於規則制定者的惡意，而是出於算術上的考量。

這項研究由哥本哈根大學的塞巴斯蒂安·蒂姆·霍爾德姆和劍橋大學純數學與數理統計系的弗雷德里克·拉文·克勞森共同完成，並發表於《運籌學年鑑》（Annals of Operations Research）期刊。

在繼續討論之前，需要先明確一點：這項研究並非針對舞弊、操縱選票或腐敗，而是探討選票轉化為席次時存在的結構性缺陷。這是一項數學研究，而非關於誠信的研究。

這三項原則無法同時兼顧。

透過檢視不同國家的選舉制度，作者們總結了幾乎所有人都認為公平選舉應包含的三個要素：

區域性－在自己所在地區贏得選舉的候選人將獲得該地區的席位。

比例性－議席的全國分配與選票的全國分配相符。

固定議會規模－議席數量不會因選舉而改變。

單獨來看，這三者似乎都合情合理。但該定理表明，當政黨數量超過一定限度時，這三者就無法共存。

克勞森直截了當地總結：這與腐敗或陰謀無關，只是數學問題。

幾乎打破選舉制度的丹麥選舉。

這項研究源於一個特殊事件。在2022年丹麥全國大選中，75年來首次出現得票數與議席數不符的情況。

丹麥的選舉制度分為兩級。選民先選出地方代表，然後透過所謂的補償席次來修正選舉結果的偏差，使各黨派的席次比例更接近得票比例。為此，丹麥預留了40個席次。

2022年，這些席次不足以彌補選票的不足。由於政黨高度分散，所需的補償席次數量超過了現有席次的數量。克勞森指出，最終結果是社會民主黨獲得的席位比其得票比例多出一個——這在兩級選舉制度中是不應該發生的。而正是這一個席次決定了選舉結果。

每個國家都做出了不同的犧牲。

這個理論提供了一個視角，讓我們能夠解讀那些早已存在的選舉偏差。

在德國，他們選擇保留區域性和比例性，允許議會規模有所改變。德國聯邦議院（Bundestag）的席位在2021年從598個增加到736個。 2023年，德國修改了議席規則以遏制這一增長——但代價是地方代表權的保障被削弱。瑞典採用了類似的模式。

在英國，由於採用選區劃分的簡單多數制，比例代表制受到了損害。 2024年的大選是英國歷史上比​​例代表制最不具代表性的一次：工黨以33.7%的得票率贏得了650個席位中的411個，而改革黨（Reform UK）僅獲得14.3%的選票，卻只贏得了5個席位。克勞森認為，下次英國大選中，得票率和席位之間的差距可能會更大。

前英國殖民地繼承了同樣的模式，並面臨類似的困境。加拿大儘管多次嘗試改革，仍維持簡單多數制。紐西蘭於1993年採用了比例代表制，但其議會規模仍不固定。

巴西的情況又如何呢？

巴西採用比例代表制選舉聯邦眾議員，各州為選區。眾議院共有513個固定席位，每個州至少有8名眾議員，最多70名。

換句話說，巴西固定了議會的規模，並按地域劃分組織選舉。根據該定理的推理，這使得全國範圍內的精確比例性成為受威脅的因素——而巴西是世界上政黨分散程度最高的民主國家之一，這恰恰是導致問題出現的原因。

該研究並未對巴西的情況進行評估，也沒有提出任何改進建議。它只是描述了這個困境的本質。

一個改進方案

作者並未止步於診斷。他們提出了一種名為「基於地理排序的比例保證」的演算法。

該演算法顛倒了操作順序。首先，它確定每個政黨在全國範圍內應享有的席位數量，而不考慮地域因素：獲得20%選票的政黨將獲得20%的席位，僅此而已。然後，所有地方選舉都按照每位候選人的表現強度排序，並按此順序分配席位。

這種方法也有代價，研究人員也急於指出其代價：地域性。即使候選人在其所在地區輕鬆獲勝，如果該黨已在其他地區取得更大勝利，用盡了配額，候選人仍然可能被排除在外。

最終結論

克勞森堅持認為，結論不應成為藉口。他認為，完美實現所有三個原則是不可能的，但這並不意味著任何人都可以免於承擔責任：可以近似地實現所有三個原則，而許多系統根本無法做到這一點。有些制度比其他制度更有效。

數學消除的是對完美製度的追求。它保留的是一個實際問題：在地域性、比例性和固定議會規模之間，每個社會願意做出哪些妥協——以及他們對此的認知程度如何？